پراکندگی: چیزی که میانگین نمی‌گه (Spread)
دو جا با میانگین دمای یکسان می‌تونن اصلاً شبیه هم نباشن؛ دامنه و انحراف معیار نشون می‌دن عددها چقدر از وسط دور می‌شن.
یه میانگین، روزهای متفاوت
دو شهر که روی کاغذ عین همن
شهر A پنج روز داره با دمای ۱۸، ۱۹، ۲۰، ۲۱ و ۲۲ درجه. شهر B پنج روز داره با ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵ و ۳۰ درجه. هر دو میانگین ۲۰ و میانه‌ی ۲۰ دارن. اگه فقط با معدل قضاوت کنی، یه جان. هر کی توی هر دوتاشون زندگی کرده باشه قبول نمی‌کنه. تیکه‌ی گم‌شده پراکندگی (spread)ـه: اینکه عددها چقدر از وسط دور می‌شن.
توی A، هر روز حداکثر ۲ درجه با ۲۰ فاصله داره. توی B، یه روز ۱۰ درجه سردتره و یه روز ۱۰ درجه گرم‌تر.
خودت رو امتحان کن
روزهای شهر A ۱۸، ۱۹، ۲۰، ۲۱، ۲۲ درجه بودن و روزهای شهر B ۱۰، ۱۵، ۲۰، ۲۵، ۳۰ درجه. میانگینشون چنده؟
- A می‌شه ۲۰ و B هم ۲۰
- A می‌شه ۲۰ و B می‌شه ۲۵
- A می‌شه ۱۸ و B می‌شه ۱۰
- A می‌شه ۴ و B می‌شه ۲۰
جواب رو ببین
A می‌شه ۲۰ و B هم ۲۰
درسته. جمع هر کدوم ۱۰۰ می‌شه، و ۱۰۰ تقسیم بر ۵ می‌شه ۲۰. یه میانگین، دو هفته‌ی خیلی متفاوت؛ برای همینه که میانگین به‌تنهایی کافی نیست.
قدم‌به‌قدم ببین
دو شهر، هر دو با میانگین ۲۰ درجه دو ردیف، یکی برای شهر A و یکی برای شهر B، روی یه محور دمای مشترک. یه خط بنفش کم‌رنگ روی ۲۰ درجه کشیده شده و روی هر دو ردیف نوشته mean 20. هنوز هیچ روزی کشیده نشده، پس فعلاً دو شهر عین همن.
پنج روزِ هر شهر حالا پنج روز به شکل نقطه‌های آبی ظاهر می‌شن. روزهای A فشرده دور ۲۰ جمع شدن، از ۱۸ تا ۲۲. روزهای B از ۱۰ تا ۳۰ پخش شدن، با اینکه میانگینشون همون خطه.
دامنه: از سردترین تا گرم‌ترین روز زیر هر ردیف یه کروشه‌ی نارنجی از سردترین روز تا گرم‌ترین روز کشیده شده. توی A، ۴ درجه‌ست (۱۸ تا ۲۲) و توی B، ۲۰ درجه (۱۰ تا ۳۰).
انحراف معیار: فاصله‌ی معمول کروشه‌ها کم‌رنگ می‌شن و دور ۲۰ روی هر ردیف یه نوار بنفش کم‌رنگ ظاهر می‌شه، به پهنای یه انحراف معیار از هر طرف. این همون فاصله‌ی معمول یه روز از میانگینه: حدود ۱٫۴ درجه توی A، حدود ۷ درجه توی B. بعضی روزها، مثل ۱۰ و ۳۰ توی B، بیرون نوارشون می‌افتن.
خودت رو امتحان کن
شهرهای A و B هر دو میانگین ۲۰ درجه دارن. برای کدوم هم پالتو برمی‌داری هم شلوارک؟
- شهر A، دامنه ۴، انحراف معیار حدود ۱٫۴
- شهر B، دامنه ۲۰، انحراف معیار حدود ۷
- فرقی نمی‌کنه: با میانگین یکسان همون وسایل رو برمی‌داری
جواب رو ببین
شهر B، دامنه ۲۰، انحراف معیار حدود ۷
درسته. روزهای B از ۱۰ تا ۳۰ درجه‌ان، پس هم روز سرد می‌بینی هم روز گرم. توی A هیچ‌وقت از بازه‌ی ۱۸ تا ۲۲ بیرون نمی‌ری.
دامنه (Range)
بزرگ‌ترین عدد منهای کوچیک‌ترین عدد. سریع‌ترین راه برای اندازه گرفتن پراکندگیه، ولی فقط به دوتا عدد بستگی داره، دوتا عدد افراطی، پس یه روز عجیب می‌تونه کاملاً عوضش کنه.
A: ۲۲ − ۱۸ = ۴. B: ۳۰ − ۱۰ = ۲۰. یه روز عجیبِ ۳۵ درجه به A اضافه کن، دامنه‌ش از ۴ می‌پره به ۱۷، با اینکه اون پنج روز دیگه هیچ تغییری نکردن.
انحراف معیار (Standard Deviation یا SD)
تقریباً یعنی فاصله‌ی معمول یه عدد از میانگین. از همه‌ی عددها استفاده می‌کنه، نه فقط دوتا سر، و واحدش همون واحد داده‌هاست. فرمولش رو لازم نداری: «میانگین ۲۰ درجه، SD هفت درجه» رو این‌طوری بخون: «بیشتر روزها حدوداً تا ۷ درجه با ۲۰ فاصله دارن». خیلی از عددها توی یه SD از میانگین هستن، ولی نه همه‌شون؛ بعضی‌ها خیلی دورتر می‌افتن.
فاصله‌های A از ۲۰ می‌شن ۲، ۱، ۰، ۱، ۲، که SD حدود ۱٫۴ می‌ده. مال B می‌شن ۱۰، ۵، ۰، ۵، ۱۰، که حدود ۷٫۱ می‌ده. (بعضی ماشین‌حساب‌ها یه نسخه‌ی کمی متفاوت دارن و حدود ۱٫۶ و ۷٫۹ نشون می‌دن؛ ماجرا همونه.)
خودت رو امتحان کن
SD برابر ۵ یعنی هیچ عددی بیشتر از ۵ با میانگین فاصله نداره.
جواب رو ببین
نادرست
غلطه. SD یه فاصله‌ی معموله، نه حداکثر فاصله. توی شهر B انحراف معیار حدود ۷ـه، ولی دوتا روز ۱۰ درجه با میانگین فاصله دارن. توی بیشتر داده‌ها بعضی عددها بیرون از یه SD می‌افتن، و چندتایی هم بیرون از دوتا.
نیمه‌ی وسط
دامنه‌ی میان‌چارکی: پراکندگی بدون دوتا سر
دامنه‌ی میان‌چارکی (IQR) دامنه‌ی نیمه‌ی وسطیِ داده‌هاست: از عددی که یه‌چهارمِ راه بالای صفه (صدک ۲۵) تا عددی که سه‌چهارمِ راه بالاشه (صدک ۷۵). چون یه‌چهارم بالا و یه‌چهارم پایین رو نادیده می‌گیره، یه عدد عجیب تقریباً تکونش نمی‌ده. همون‌طور که SD با میانگین جفته، IQR با میانه جفته. توی نمودار جعبه‌ای (box plot)، خود جعبه همون IQRـه.
قیمت خونه توی یه محله: IQR می‌گه نیمه‌ی وسطیِ خونه‌ها کجان، بدون اینکه اون یه عمارت یا اون یه خرابه بکشدش این‌ور و اون‌ور.
خودت رو امتحان کن
نگار زمان رفت‌وآمدش رو یه ماه یادداشت می‌کنه. یه روز قطار خراب می‌شه و راهش ۳ ساعت طول می‌کشه. کدوم معیار پراکندگی به‌خاطر همین یه روز بیشتر از همه عوض می‌شه؟
- دامنه
- دامنه‌ی میان‌چارکی
- هر دو به یه اندازه عوض می‌شن
جواب رو ببین
دامنه
درسته. دامنه یعنی بزرگ‌ترین منهای کوچیک‌ترین، پس یه بزرگ‌ترینِ تازه فوراً عوضش می‌کنه. IQR فقط به نیمه‌ی وسط نگاه می‌کنه، جایی که اون روز ۳ ساعته توش نیست.
«میانگین زمان رفت‌وآمد ۳۰ دقیقه‌ست»
پراکندگی کم
تقریباً همه ۲۵ تا ۳۵ دقیقه توی راهن. میانگین برای هر نفر حدس خوبیه، و می‌تونی باهاش برنامه بریزی.
پراکندگی زیاد
بعضی‌ها ۵ دقیقه توی راهن و بعضی‌ها ۹۰ دقیقه. میانگین همون ۳۰ـه، ولی برای هر نفر حدس بدیه: ممکنه زود برسی یا خیلی دیر.
خودت رو امتحان کن
دوتا اتوبوس هر دو به‌طور میانگین ۳۰ دقیقه طول می‌کشن. SD اتوبوس X دو دقیقه‌ست؛ SD اتوبوس Y دوازده دقیقه. برای مصاحبه‌ی کاری سوار کدوم می‌شی؟
- اتوبوس X، چون قابل پیش‌بینیه
- اتوبوس Y، چون بعضی وقت‌ها خیلی سریع‌تره
- فرقی نمی‌کنه، چون میانگین هر دو ۳۰ دقیقه‌ست
جواب رو ببین
اتوبوس X، چون قابل پیش‌بینیه
درسته. با SD دو دقیقه، X تقریباً همیشه حدود ۲۸ تا ۳۲ دقیقه طول می‌کشه. Y زیاد پیش میاد که ۱۲ دقیقه یا بیشتر با ۳۰ فرق کنه، به هر دو طرف، و دیر رسیدن همون طرفیه که برات گرون تموم می‌شه.
چرا خواننده پراکندگی رو لازم داره
- پراکندگی کم: میانگین برای هر مورد تکی حدس خوبیه. پراکندگی زیاد: نیست.
- دوتا سرمایه‌گذاری با سود میانگین یکسان ولی پراکندگی متفاوت، ریسک متفاوتی دارن.
- درمانی که «به‌طور میانگین» کمک می‌کنه، ممکنه به بعضی‌ها خیلی کمک کنه و به بعضی‌ها اصلاً نه.
- مقایسه‌ی دو گروه فقط با میانگین نصف ماجرا رو قایم می‌کنه؛ بپرس هر کدوم چقدر پخشن.
- دامنه سریعه ولی شکننده؛ SD با میانگین جفته؛ IQR با میانه جفته و به عددهای افراطی اهمیت نمی‌ده.
مرور درس
- شهر A (۱۸ تا ۲۲ درجه) و شهر B (۱۰ تا ۳۰ درجه) هر دو میانگین ۲۰ دارن ولی اصلاً شبیه هم نیستن: فرقشون پراکندگیه.
- دامنه یعنی بزرگ‌ترین منهای کوچیک‌ترین: ۴ برای A، ۲۰ برای B. یه عدد عجیب می‌تونه خیلی عوضش کنه.
- انحراف معیار فاصله‌ی معمول از میانگینه، با همون واحد داده‌ها: حدود ۱٫۴ درجه برای A، حدود ۷ برای B.
- SD حداکثر فاصله نیست؛ بعضی عددها خیلی دورتر از اون می‌افتن.
- دامنه‌ی میان‌چارکی نیمه‌ی وسطیِ داده‌ها رو می‌پوشونه، عددهای افراطی رو نادیده می‌گیره و با میانه جفته.