منحنی زنگوله‌ای (The Normal Curve)
چرا این‌همه اندازه‌گیری به شکل زنگوله روی هم جمع می‌شن، و قاعده‌ی ۶۸-۹۵-۹۹٫۷ که می‌گه یه عدد چقدر غیرعادیه.
هیستوگرام (Histogram)
نموداری که عددها رو توی بازه‌ها (تیکه‌های هم‌اندازه، مثل ۷۰ تا ۷۸، ۷۸ تا ۸۶) دسته‌بندی می‌کنه و برای هر بازه یه ستون می‌کشه. ارتفاع هر ستون یعنی چندتا عدد توی اون تیکه افتادن. با یه نگاه شکل داده رو نشون می‌ده: کجا جمع شدن، چقدر پهنن، به یه طرف کج شدن یا نه.
نمره‌ی آزمون ۱٬۰۰۰ نفر، توی بازه‌های ۸ نمره‌ای: بلندترین ستون حدود ۱۰۰ـه، و هر چی از اونجا دورتر بری، چه این‌ور چه اون‌ور، ستون‌ها کوتاه‌تر می‌شن.
خودت رو امتحان کن
توی هیستوگرامِ نمره‌های یه آزمون، ارتفاع هر ستون چی رو بهت می‌گه؟
- میانگین نمره‌ی آدم‌های توی اون ستون
- اینکه چند نفر نمره‌شون توی بازه‌ی اون ستون افتاده
- بالاترین نمره‌ای که کسی گرفته
- اینکه اون بازه چقدر از میانگین دوره
جواب رو ببین
اینکه چند نفر نمره‌شون توی بازه‌ی اون ستون افتاده
درسته. هر ستون عددهایی رو می‌شمره که توی تیکه‌ی خودش افتادن. ستون‌های بلند جاییه که داده‌ها جمع شدن.
قدم‌به‌قدم ببین
نمره‌های آزمون، دسته‌شده توی ستون‌ها نمره‌های آزمون عده‌ی زیادی آدم، دسته‌شده توی یازده ستون نارنجی روی محوری که ۷۰، ۸۵، ۱۰۰، ۱۱۵ و ۱۳۰ روش علامت خورده. بلندترین ستون‌ها نزدیک ۱۰۰ـن و دو طرف تقریباً به یه اندازه کوتاه می‌شن: بیشتر آدم‌ها نزدیک وسط می‌افتن.
ستون‌ها رو صاف کن، زنگوله درمیاد یه منحنی صاف بنفش کم‌رنگ روی ستون‌ها کشیده می‌شه و ستون‌ها پشتش کم‌رنگ می‌شن: منحنی زنگوله‌ای. روی قله‌ش نوشته mean 100، و یه کروشه‌ی کوچیک از ۱۰۰ تا ۱۱۵ نوشته SD 15. همین دوتا عدد، یعنی مرکز و پهنا، برای کشیدنش کافیه.
توی یه SD: حدود ۶۸٪ سطح زیر منحنی از ۸۵ تا ۱۱۵، یعنی یه SD این‌ور و اون‌ور میانگین، نارنجی می‌شه و روش نوشته 68%. از هر ۱۰۰ نفر حدود ۶۸ نفر نمره‌شون توی همین بازه‌ست.
توی دوتا SD: حدود ۹۵٪ رنگ نارنجی تا ۷۰ تا ۱۳۰ پهن می‌شه، یعنی دوتا SD از هر طرف، و حالا نوشته 95%. دوتا دُم باریکِ بیرونش خاکستری شدن و روی هر کدوم نوشته 2.5%: فقط حدود ۲٫۵ نفر از هر ۱۰۰ نفر بالای ۱۳۰ می‌گیرن، و تقریباً همین‌قدر زیر ۷۰.
خودت رو امتحان کن
میانگین نمره‌ها ۱۰۰ و انحراف معیارشون ۱۵ـه. تقریباً چند درصد آدم‌ها بین ۸۵ و ۱۱۵ می‌گیرن؟
- حدود ۵۰٪
- حدود ۶۸٪
- حدود ۹۵٪
- حدود ۹۹٫۷٪
جواب رو ببین
حدود ۶۸٪
درسته. ۸۵ تا ۱۱۵ یعنی یه SD این‌ور و اون‌ور میانگین، و حدود ۶۸٪ یه منحنی زنگوله‌ای همون‌جاست.
توزیع نرمال
شکلی که دوتا عدد تعیینش می‌کنن
به زنگوله‌ی ایده‌آل می‌گن توزیع نرمال (normal distribution). متقارنه، یه کوهان داره، و سرِ قله‌ش میانگین و میانه و مد هر سه یه عددن. وقتی میانگینش (مرکز کجاست) و SDش (چقدر پهنه) رو بدونی، کل شکل رو می‌دونی. چرا این‌قدر رایجه؟ وقتی یه نتیجه جمعِ کلی اثر کوچیک و مستقل از همه، مثل ژن‌ها و عادت‌های زیادی که پشت قد هستن، یا سؤال‌های زیاد یه آزمون، مجموعش به سمت زنگوله می‌ره. آمارشناس‌ها به این می‌گن قضیه‌ی حد مرکزی (central limit theorem).
قد آدم‌های بزرگسالِ یه جنس، خطاهای کوچیک وقتی یه چیز رو بارها وزن می‌کنی، و نمره‌ی آزمون‌هایی که از سؤال‌های زیاد ساخته شدن، همه تقریباً زنگوله‌ای درمیان.
قاعده‌ی ۶۸-۹۵-۹۹٫۷
- حدود ۶۸٪ عددها توی ۱ SD از میانگین هستن. توی آزمون ما: ۸۵ تا ۱۱۵.
- حدود ۹۵٪ توی ۲ SD هستن: ۷۰ تا ۱۳۰.
- حدود ۹۹٫۷٪ توی ۳ SD هستن: ۵۵ تا ۱۴۵.
- باقی‌مونده به‌طور مساوی بین دوتا دُم تقسیم می‌شه: از اون ۵٪ که بیرون ۷۰ تا ۱۳۰ـه، حدود ۲٫۵٪ بالای ۱۳۰ـن.
- فقط برای داده‌ای جواب می‌ده که واقعاً تقریباً زنگوله‌ای باشه.
خودت رو امتحان کن
همون آزمون: میانگین ۱۰۰، SD پونزده. تقریباً چند درصد آدم‌ها مثل سارا بالای ۱۳۰ می‌گیرن؟
- حدود ۲٫۵٪
- حدود ۵٪
- حدود ۱۶٪
- حدود ۳۲٪
جواب رو ببین
حدود ۲٫۵٪
درسته. حدود ۹۵٪ بین ۷۰ و ۱۳۰ می‌گیرن، پس ۵٪ بیرونن، و نصفش، یعنی حدود ۲٫۵٪، بالای ۱۳۰ـن. تقریباً یه نفر از هر ۴۰ نفر.
نمره‌ی z (z-score)
یه عدد چندتا SD با میانگین فاصله داره. بالای میانگین مثبته، زیرش منفی. چون فاصله رو با SD می‌سنجه نه با نمره، می‌شه باهاش نتیجه‌هایی رو که مقیاس‌هاشون کاملاً فرق داره مقایسه کرد: روی هر اندازه‌گیری زنگوله‌ای، z برابر +2 به یه اندازه کمیابه.
۱۳۰ِ سارا ۳۰ نمره بالای میانگین ۱۰۰ـه با SD پونزده، پس z = +2. قدی که ۲ SD بالاتر از میانگینِ گروه خودشه، دقیقاً به همون اندازه‌ی نمره‌ی سارا غیرعادیه.
خودت رو امتحان کن
امید توی آزمون ریاضی ۱ SD بالای میانگین می‌گیره و توی آزمون زبان ۲ SD بالای میانگین. هر دو آزمون تقریباً زنگوله‌ای‌ان. کدوم نتیجه کمیاب‌تره؟
- نتیجه‌ی ریاضی، ۱ SD بالاتر
- نتیجه‌ی زبان، ۲ SD بالاتر
- هیچ‌کدوم: آزمون‌های مختلف رو نمی‌شه مقایسه کرد
جواب رو ببین
نتیجه‌ی زبان، ۲ SD بالاتر
درسته. حدود ۱۶٪ آدم‌ها بیشتر از ۱ SD بالای میانگین می‌گیرن، ولی فقط حدود ۲٫۵٪ بیشتر از ۲ SD. نمره‌ی z آزمون‌های مختلف رو قابل مقایسه می‌کنه.
خودت رو امتحان کن
کدوم‌ها احتمالاً تقریباً زنگوله‌ای درمیان، و کدوم‌ها چوله‌ان؟
- قد زن‌های بزرگسالِ یه کشور
- درآمد خانوارها
- خطاهای کوچیک یه ترازوی آشپزخونه موقع وزن کردن یه کیسه
- قیمت خونه توی یه شهر
- نمره‌های یه امتحان ۶۰ سؤالی
- دقیقه‌های انتظار توی یه درمونگاه
جواب رو ببین
تقریباً زنگوله: قد زن‌های بزرگسالِ یه کشور, خطاهای کوچیک یه ترازوی آشپزخونه موقع وزن کردن یه کیسه, نمره‌های یه امتحان ۶۰ سؤالی
چوله، نه زنگوله: درآمد خانوارها, قیمت خونه توی یه شهر, دقیقه‌های انتظار توی یه درمونگاه
مرور درس
- هیستوگرام می‌شمره چندتا عدد توی هر بازه افتادن؛ خیلی از اندازه‌گیری‌ها توی یه کوهان متقارن جمع می‌شن.
- توزیع نرمال رو دوتا عدد تعیین می‌کنن: میانگین (مرکز) و SD (پهنا). میانگین و میانه و مد سرِ قله به هم می‌رسن.
- رایجه چون جمعِ کلی اثر کوچیک و مستقل به سمت زنگوله می‌ره.
- با میانگین ۱۰۰ و SD پونزده: حدود ۶۸٪ بین ۸۵ تا ۱۱۵ می‌گیرن، حدود ۹۵٪ بین ۷۰ تا ۱۳۰، و حدود ۲٫۵٪ بالای ۱۳۰.
- نمره‌ی z فاصله از میانگین رو با SD می‌شمره، پس مقیاس‌های مختلف رو مقایسه می‌کنه؛ ولی داده‌ی چوله مثل درآمد از این قاعده پیروی نمی‌کنه.